基于VC++的OpenGL编程讲座之曲线和曲面

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计算机图形学中,所有的光滑曲线、曲面都采用线段或三角形逼近来模拟,但为了精确地表现曲线,通常需要成千上万个线段或三角形来逼近,这种方法对于计算机的硬件资源有相当高的要求。然而,许多有用的曲线、曲面在数学上只需要用少数几个参数(如控制点等)来描述。这种方法所需要的存储空间比线段、三角形逼近的方法来所需要的空间要小得多,并且控制点方法描述的曲线、曲面比线段、三角形逼近的曲线、曲面更精确。
为了说明如何在OpenGL中绘制复杂曲线和曲面,我们对上述两类比方法都进行了介绍。下面我们先来介绍有关基础知识,然后再看是如何实现的吧。

   一、曲线的绘制

  OpenGL通过一种求值器的机制来产生曲线和曲面,该机制非常灵活,可以生成任意角度的多项式曲线,并可以将其他类型的多边形曲线和曲面转换成贝塞尔曲线和曲面。这些求值器能在任何度的曲线及曲面上计算指定数目的点。随后,OpenGL利用曲线和曲面上的点生成标准OpenGL图元,例如与曲线或曲面近似的线段和多边形。由于可让OpenGL计算在曲线上所需的任意数量的点,因此可以达到应用所需的精度。
对于曲线,OpenGL中使用glMap1*()函数来创建一维求值器,该函数原型为:

void glMap1{fd}(GLenum target,TYPE u1,TYPE u2,
GLint stride, GLint order,const TYPE *points);

  函数的第一个参数target指出控制顶点的意义以及在参数points中需要提供多少值,具体值见表一所示。参数points指针可以指向控制点集、RGBA颜色值或纹理坐标串等。例如若target是GL_MAP1_COLOR_4,则就能在RGBA四维空间中生成一条带有颜色信息的曲线,这在数据场可视化中应用极广。参数u1和u2,指明变量U的范围,U一般从0变化到1。参数stride是跨度,表示在每块存储区内浮点数或双精度数的个数,即两个控制点间的偏移量,比如上例中的控制点集ctrpoint[4][3]的跨度就为3,即单个控制点的坐标元素个数。函数参数order是次数加 1,叫阶数,与控制点数一致。

参数 意义
GL_MAP1_VERTEX_3 x,y,z顶点坐标
GL_MAP1_VERTEX_4 x,y,z,w 顶点坐标
GL_MAP1_INDEX 颜色表
GL_MAP1_COLOR_4 R,G,B,A
GL_MAP1_NORMAL 法向量
GL_MAP1_TEXTURE_COORD_1 s 纹理坐标
GL_MAP1_TEXTURE_COORD_2 s,t 纹理坐标
GL_MAP1_TEXTURE_COORD_3 s,t,r 纹理坐标
GL_MAP1_TEXTURE_COORD_4 s,t,r,q 纹理坐标

              表一、参数target的取值表

  使用求值器定义曲线后,必须要启动求值器,才能进行下一步的绘制工作。启动函数仍是glEnable(),其中参数与glMap1*()的第一个参数一致。同样,关闭函数为glDisable(),参数也一样。

  一旦启动一个或多个求值器,我们就可以构造近似曲线了。最简单的方法是通过调用计算坐标函数glEvalcoord1*()替换所有对函数glVertex*()的调用。与glVertex*()使用二维、三维和四维坐标不同,glEvalcoord1*()将u值传给所有已启动的求值器,然后由这些已启动的求值器生成坐标、法向量、颜色或纹理坐标。OpenGL曲线坐标计算的函数形式如下:

void glEvalCoord1{fd}[v](TYPE u);
  该函数产生曲线坐标值并绘制。参数u是定义域内的值,这个函数调用一次只产生一个坐标。在使用glEvalCoord1*()计算坐标,因为u可取定义域内的任意值,所以由此计算出的坐标值也是任意的。

  使用glEvalCoord1*()函数的优点是,可以对U使用任意值,然而,如果想对u使用N个不同的值,就必须对glEvalCoord1*()函数执行N次调用,为此,OpenGL提供了等间隔值取值法,即先调用glMapGrid1*()定义一个间隔相等的一维网格,然后再用glEvalMesh1()通过一次函数执行,将求值器应用在网格上,计算相应的坐标值。下面详细解释这两个函数:

  1、void glMapGrid1{fd}(GLint n,TYPE u1,TYPE u2);

  定义一个网格,从u1到u2分为n步,它们是等间隔的。实际上,这个函数定义的是参数空间网格。

  2、void glEvalMesh1(GLenum mode,GLint p1,GLint p2);

  计算并绘制坐标点。参数mode可以是GL_POINT或GL_LINE,即沿曲线绘制点或沿曲线绘制相连的线段。这个函数的调用效果同在p1和p2之间的每一步给出一个glEvalCoord1()的效果一样。从编程角度来说,除了当i=0或i=n,它准确以u1或u2作为参数调用glEvalCoord1()之外,它等价于一下代码:

glBegin(GL_POINT); /* glBegin(GL_LINE_STRIP); */
   for(i=p1;i <=p2;i++)
     glEvalCoord1(u1+i*(u2-u1)/n);
   glEnd();

  为了进一步说明OpenGL中曲线的绘制方法。下面我们来看一个简单的例子,这是用四个控制顶点来画一条三次Bezier曲线。程序如下(注:这是本讲座中提供的第一个完整的OpenGL实例代码,如果读者朋友对整个程序结构有些迷惑的话,也不要紧,慢慢地往下看,先有一个感官上的印象,主要是掌握如何实现曲线绘制这一部分。关于OpenGL的程序整体结构实现,笔者将在第五讲中专门阐述):

#include "glos.h"
#include
#include
#include
void myinit(void);
void CALLBACK myReshape(GLsizei w, GLsizei h);
void CALLBACK display(void);
GLfloat ctrlpoints[4][3] = {
   { -4.0, -4.0, 0.0 }, { -2.0, 4.0, 0.0 },
   { 2.0, -4.0, 0.0 }, { 4.0, 4.0, 0.0 }
};
void myinit(void)
{
   glClearColor(0.0, 0.0, 0.0, 1.0);
glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3, 0.0, 1.0, 3, 4,
&ctrlpoints[0][0]);
   glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3);
   glShadeModel(GL_FLAT);
}
void CALLBACK display(void)
{
   int i;
   glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
   glColor3f(1.0, 1.0, 1.0);
   glBegin(GL_LINE_STRIP);
   for (i = 0; i <= 30; i++)
      glEvalCoord1f((GLfloat) i/30.0);
   glEnd();
   /* 显示控制点 */
   glPointSize(5.0);
   glColor3f(1.0, 1.0, 0.0);
   glBegin(GL_POINTS);
   for (i = 0; i < 4; i++)
     glVertex3fv(&ctrlpoints[i][0]);
   glEnd();
  glFlush();
}
void CALLBACK myReshape(GLsizei w, GLsizei h)
{
  glViewport(0, 0, w, h);
  glMatrixMode(GL_PROJECTION);
  glLoadIdentity();
  if (w <= h)
glOrtho(-5.0, 5.0, -5.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w,
5.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w, -5.0, 5.0);
  else
glOrtho(-5.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h, 5.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h, -5.0, 5.0, -5.0, 5.0);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
   }
二、曲面构造

  曲面的绘制方法基本上与曲线的绘制方法是相同的,所不同的是曲面使用二维求值器,并且控制点连接起来形成一个网格。

  对于曲面,求值器除了使用二个参数U、V之外,其余与一维求值器基本相同。顶点坐标 、颜色、法线矢量和纹理坐标都对应于曲面而不是曲线。在OpenGL中定义二维求值器的函数是:

void glMap2{fd}(GLenum target,TYPE u1,TYPE u2,GLint ustride,GLint uorder,TYPE v1,TYPE v2,
GLint vstride,GLint vorder,TYPE points);

  参数target可以是表一中任意值,不过需将MAP1改为MAP2。同样,启动曲面的函数仍是glEnable(),关闭是glDisable()。u1、u2为u的最大值和最小值;v1、v2为v的最大值和最小值。参数ustride和vstride指出在控制点数组中u和v向相邻点的跨度,即可从一个非常大的数组中选择一块控制点长方形。例如,若数据定义成如下形式:

GLfloat ctlpoints[100][100][3];
  并且,要用从ctlpoints[20][30]开始的4x4子集,选择ustride为100*3,vstride为3,初始点设置为ctlpoints[20][30][0]。最后的参数都是阶数,uorder和vorder,二者可以不同。

  曲面坐标计算函数为:

void glEvalCoord2{fd}[v](TYPE u,TYPE v);
  该函数产生曲面坐标并绘制。参数u和v是定义域内的值。下面看一个绘制Bezier曲面的例子:

/* 控制点的坐标 */
   GLfloat ctrlpoints[4][4][3] = {
{{-1.5, -1.5, 2.0}, {-0.5, -1.5, 2.0},
  {0.5, -1.5, -1.0}, {1.5, -1.5, 2.0}},
  {{-1.5, -0.5, 1.0}, {-0.5, 1.5, 2.0},
{0.5, 0.5, 1.0}, {1.5, -0.5, -1.0}},
{{-1.5, 0.5, 2.0}, {-0.5, 0.5, 1.0},
{0.5, 0.5, 3.0}, {1.5, -1.5, 1.5}},
{{-1.5, 1.5, -2.0}, {-0.5, 1.5, -2.0},
{0.5, 0.5, 1.0}, {1.5, 1.5, -1.0}}
};
void myinit(void)
{
     glClearColor (0.0, 0.0, 0.0, 1.0);
     glMap2f(GL_MAP2_VERTEX_3, 0, 1, 3, 4, 0, 1, 12, 4,
&ctrlpoints[0][0][0]);
glEnable(GL_MAP2_VERTEX_3);
glMapGrid2f(20, 0.0, 1.0, 20, 0.

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